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半导体物理
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绪论

集成芯片制造工艺简述

1. 热氧化

   硅表面天然的二氧化硅氧化层可以作为器件隔离的场氧化层，连接器件的金属互联线放置在氧化层顶部。通常氧化反应需要高温条件，在硅的氧化过程中，氧气通过扩散过程穿过直接与氧化层表面相邻的凝滞气体层和已有的氧化层到达硅表面，在这里与硅反应形成二氧化硅。整个过程，氧化消耗的硅占氧化层厚度的44%左右。

2. 掩模和光刻

   掩模版是器件的物理表示，掩模版上的不透明部分可以吸收紫外线。光敏层，即光刻胶，被预先喷到半导体表面。光刻胶是一种在紫外照射下会发生化学反应的有机聚合物。紫外线通过掩模版照射到光刻胶上，利用显影剂去除光刻胶的多余部分，被掩模版不透明部分遮蔽的光刻胶得以保留，以此在硅上形成需要产生的图形结构。

3. 刻蚀

   在光刻胶山形成图案后，余下的光刻胶作为掩蔽层，而没有被光刻胶覆盖的部分就会被刻蚀掉。标准的刻蚀工艺是等离子刻蚀，通过向低压舱中注入刻蚀性气体，例如氯氟烃，在阴阳极间加射频电压得到等离子体，硅片放置在阴极，等离子体中阳离子在电场加速下轰击到硅表面，最终的效果就是硅表面被选中的区域通过各向异性而刻蚀掉。

4. 扩散

   广泛应用的热工艺是扩散。将硅片放置在高温扩散炉中并掺入硼或磷等杂质，在浓度梯度作用下逐渐扩散到硅中，当硅片被取出并降到室温后，杂质原子的扩散系数基本将为零，从而使杂质原子固定在硅材料中。

5. 离子注入

   高温扩散工艺的替代方案是离子注入，将杂质离子束加速到高能后射向半导体表面。离子进入硅后与硅原子发生碰撞并损失能量，最后停留在晶体的某个深度上。碰撞是随机的，掺杂原子的透射深度也具有一定的分布。

   与扩散工艺相比，离子注入的优点是低温、可以获得掺杂良好的掺杂层，它的缺陷是入射杂质原子和原位硅原子碰撞会造成晶格损伤，不过大部分的损伤可以通过硅高温退火消除，并且退火温度远低于扩散工艺温度。

6. 金属化、键合与封装

   经过前述步骤加工后，半导体器件需要互连形成电路。一般的方法是气相沉积法得到金属薄膜，用光刻和刻蚀技术得到实际的互连线。通常，在整个硅片上会沉积氮化硅作为保护层。

   通过划片将硅片分成独立的集成电路芯片并固定在封装基座上，用导线键合机在芯片和封装引脚间连上金或铝线。

固体晶格结构

keywords：固体晶格 结构、半导体生长技术、半导体器件结构

半导体材料

• 半导体是导电性能介于金属和绝缘体之间的一种材料
• 半导体基本可以划分为两类：元素半导体和化合物半导体
• 常见半导体：锗、硅、砷化镓

固体类型

• 固体的三种基本类型是：无定型、多晶、单晶
• 有序化区域是指原子或分子有规则或周期性几何排布的空间范畴

空间晶格

• 晶体中原子的周期性排列称为晶格

原胞与晶胞

• 格点用于描述原子排列
• 原胞是重复形成晶格的最小重复单元
• 晶胞是晶体中具有结构对称性的最小重复单元

晶面与密勒指数

• 密勒指数是晶面在轴上截距的倒数
• 立方晶体有三种平面，即(1,0,0)平面，(1,1,0)平面和(1,1,1)平面
• 晶向是晶列在坐标轴上的三个分量

固体中的缺陷和杂质

实际晶体中，晶格不是完美的，它的几何周期性会被一些形式破坏，进而改变材料的特性。

固体中的缺陷

所有晶体都有的一类缺陷是原子的热振动，引起原子在晶格平衡点处的随机振动，随机热运动引起原子间距离的随机波动，轻微破坏了原子的几何排列。

晶体中的另一种缺陷是点缺陷。实际晶体中特定晶格格点的原子可能缺失，这种缺陷称为空位。在其他位置，原子可能镶嵌于格点之间，这种缺陷称为填隙。靠得足够近的空位和填隙原子会在两个点缺陷之间发生相互作用，这种空位-填隙缺陷称为弗兰克尔缺陷。

在单晶体材料的形成中，当一整列原子从正常晶格位置缺失时，就会出现线缺陷。

除上述以外，还有更加复杂的位错。

特征位错：滑移面是原子密排面，滑移方向是原子密度最大的方向

固体中的杂质

晶格中可能出现外来原子或者杂质原子。杂质原子可以占据正常的晶格格点，这种情况称为替位杂质。杂质原子出现在格点之间称为填隙杂质。

为改变导电性而向半导体材料中加入杂志的技术称为掺杂，一般的方法是扩散和离子注入。

半导体中的电子状态

单电子近似思想

• 原子实不动的多电子体系
• 每个电子处在原子实和电子组成的平均势场中，即单电子问题
• 平均势场是周期性的，周期为晶体中电子的排列周期

紧束缚近似：以原子实对电子的束缚为主，其余视为微扰

准自由电子近似：以晶体中恒定势场为主，其余视为微扰，这一微扰是周期性的

自由电子近似：势场展开为傅里叶级数：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& V(X)=V_0+\sum _n{V}_n{e}^{iknx}\end{array}$$

第一项反映均匀势场，第二项反映微扰，该方程的解是布洛赫波

布洛赫波：其中a是晶格常数

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \begin{array}{c}{\psi }_k(x)=U_k(x)e^{ikx}\\ U_k(x)=U_k(x+na)\\ k=\frac{2\pi }{a}\end{array}\end{array}$$

特点：

• 振幅$U(x)$$U(x)$是周期函数，反映周期势场对运动的影响
• $e^{ikx}$$e^{ikx}$为平面波函数，反映电子共有化运动
• 布洛赫波是周期性振幅调幅的平面波，是自由粒子平面波函数计入微扰得到的
• 布洛赫定理说明电子的运动可以看作是很多行波的叠加，它们可以叠加为波包，波包由一个特定波矢$\overrightarrow{k}$$\vec{k}$附近的诸波函数组成

倒格子

倒格子与晶格是傅里叶变换的关系，其量纲互为倒数，k就是一个倒格子

倒格子：倒影空间，倒格子空间里有布里渊区。由倒格子组成的空间理解为状态空间(k空间)

• 面心立方晶体的倒格子是体心立方
• k空间的密度为晶体的体积

$s{p}^3$$sp^3$杂化

• 杂化态，形成四个等价的轨道，含有s和p轨道成分

  每个能带有2N个能级，上下各一个能带，价电子填满2N个轨道，能带间间隙形成禁带

• 金刚石、锗、硅、砷化镓形成$s{p}^3$$sp^3$杂化

前置量力基础

1. 一维非相对论薛定谔方程

   $$\begin{array}{}\text{(3)}& -\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2\mathrm{\Psi }(x,t)}{\partial x^2}+V(x)\mathrm{\Psi }(x,t)=j\hslash \frac{\partial \mathrm{\Psi }(x,t)}{\partial t}\end{array}$$

   利用分离变量法

   $$\begin{array}{}\text{(4)}& \mathrm{\Psi }(x,t)=\psi (x)\varphi (t)\end{array}$$

   得到时间部分函数的解形式为

   $$\begin{array}{}\text{(5)}& \varphi (t)=e^{-j\frac{E}{\hslash }t},\text{分}\text{离}\text{常}\text{量}E\text{是}\text{粒}\text{子}\text{的}\text{总}\text{能}\text{量}\end{array}$$

   空间部分的函数形式为

   $$\begin{array}{}\text{(6)}& \frac{{\partial }^2\psi (x)}{\partial x^2}+\frac{2m}{{\hslash }^2}(E-V(x))\psi (x)=0\end{array}$$

2. 边界条件

   如果粒子的能量和势函数在任何位置均为有限制，则波函数及其一阶导数需要满足以下条件

   1. $\psi (x)$$\psi(x)$必须有限、单值、连续
   2. $\psi (x)$$\psi(x)$的一阶导数必须有限、单值、连续

克龙尼科-潘纳模型

1. 布洛赫数学定理

   表述：所有周期性变化的势能函数的单电子波函数必须写为

   $$\begin{array}{}\text{(7)}& \psi (x)=u(x)e^{jkx}\end{array}$$

   $u(x)$$u(x)$是周期函数，函数的周期就是势能变化的周期，$k$$k$称为运动参量，也是波矢

2. 薛定谔方程的一个有解条件

   下式给出了参数k，总能量E和势垒$b{V}_0$$bV_{0}$之间的关系

   $$\begin{array}{}\text{(8)}& \begin{array}{c}P\prime \frac{sin\alpha a}{\alpha a}+\cos \alpha a=\cos ka\end{array}\end{array}$$

   其中：

   $$\begin{array}{}\text{(9)}& \begin{array}{c}P\prime =\frac{m{V}_{0}ba}{{\hslash }^2}\\ {\alpha }^2=\frac{2mE}{{\hslash }^2}\end{array}\end{array}$$

k空间能带图

1. 没有势垒的情况下，$\alpha =k$$\alpha=k$，因此可以得到$E=\frac{k^2{\hslash }^2}{2m}=\frac{p^2}{2m}$$E=\frac{k^2\hbar^2}{2m}=\frac{p^2}{2m}$，显示了自由粒子的能量和动量之间的抛物线关系，也是自由粒子的能量和k之间的关系曲线

   自由电子的E-k曲线图显然是抛物线状的，$E_k^0$$E_{k}^{0}$是自由电子势能

   周期性势场中电子的E-k关系如下：

   $$\begin{array}{}\text{(10)}& E=E_k^0+\sum \frac{|V_n^2|}{\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}-\frac{{\hslash }^2(k-\frac{n}{a}{)}^2}{2m}}\end{array}$$

   • 求和项的分母不能为零，这要求$k\ne -(k-\frac{n}{a})$$k\neq -(k-\frac{n}{a})$，即$k\ne \frac{n}{2a}$$k\neq\frac{n}{2a}$，在这些点处，就是布里渊区的边界附近，这些位置就是禁带
   • 允带布里渊区内
   • 能量是周期的偶函数，周期为$\frac{1}{a}$$\frac{1}{a}$，这意味能带在不同的布里渊区是重复的

2. 单晶晶格中粒子的E-k关系，随着参数$P\prime$$P\prime$的增大，粒子收到势阱或原子的束缚更加强烈，根据克龙-潘纳模型的有解条件，考虑图像叠加，并注意到方程右侧的有界性，，因此得到的E-k图就是不连续的

   由于能量是不连续的，因此就有了晶体中粒子的禁带和允带概念

   假设参数$P\prime =10$$P\prime=10$，势场宽度$a=5\AA$$a=5\AA$，计算最低能量允带的宽度

   允带解答分析：方程右侧的变化范围是[-1,1]，即需要得到$ka$$ka$从零变化到$\pi$$\pi$时$\alpha a$$\alpha a$的变化范围

   • 当$ka=0$$ka=0$时：

     $$\begin{array}{}\text{(11)}& 10\frac{\sin \alpha a}{\alpha a}+\cos (\alpha a)=1\Rightarrow \alpha a=2.628rad\end{array}$$

   • 当$ka=\pi$$ka=\pi$时，$\alpha a=\pi$$\alpha a=\pi$：

     $$\begin{array}{}\text{(12)}& {\alpha }^2=\frac{2mE}{{\hslash }^2}\Rightarrow E=\frac{{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{a}^2}\end{array}$$

   • 由此计算得到能量允带

     $$\begin{array}{}\text{(13)}& \mathrm{\Delta }E=0.447eV\end{array}$$

   随着能量的增长，克龙尼科-潘纳模型的允带宽度也随之增加

3. 在数学上，余弦函数是周期函数，因此，我们可以对E-k曲线图像进行周期性平移。$ka\in [-\pi ,\pi ]$$ka\in[-\pi,\pi]$的范围内的图像代表了简约k空间曲线，或称简约布里渊区

4. 总结来说，克龙尼科-潘纳模型是通过一维周期性实函数建立起来的单晶晶格模型

电子有效质量

在晶格中运动的电子与在自由空间中不同。除了外力影响，晶体中的带电粒子产生的内部作用力会对电子在晶格中的运动产生影响，但是一一考虑粒子所受的内力是不现实的，为此引入参数$m^{\ast }$$m^*$，称为有效质量，有效质量概括了粒子的质量以及内力的作用效果，这样牛顿第二定律的形式即为

共有化运动

1. 共有化运动速度（k空间）

   $$\begin{array}{}\text{(15)}& \bar{v}=\frac{1}{\hslash }{\mathrm{\nabla }}_{k}E(\overrightarrow{k})\end{array}$$

   其中在一维中：

   $$\begin{array}{}\text{(16)}& \begin{array}{c}v=\frac{1}{\hslash }\frac{\mathrm{dE}}{\mathrm{dk}}=\frac{\hslash k}{m_n^{\ast }}\\ \overrightarrow{v}(\overrightarrow{k})=-\overrightarrow{v}(\overrightarrow{k}),\text{奇}\text{函}\text{数}\end{array}\end{array}$$
   • 电子在周期性势场中的运动用平均速度，即群速度描述，就是共有化运动速度
   • 群速度是介质中能量的传输速度

2. 加速度

   $$\begin{array}{}\text{(17)}& \begin{array}{c}{\overrightarrow{F}}_{external}=\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{\mathrm{p}}}{\mathrm{dt}}\\ \overrightarrow{p}=\hslash \overrightarrow{k}\end{array}\end{array}$$

   其中一维为：

   $$\begin{array}{}\text{(18)}& \frac{\mathrm{d}\overrightarrow{\mathrm{v}}}{\mathrm{dt}}=\frac{F}{{\hslash }^2}\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{E}}{{\mathrm{dk}}^2}\end{array}$$

   这里的动量并不指的是电子的真实动量，而是电子的准动量

3. 有效质量

   曲率与二次微商成正比，能带越窄，曲率越小，二次微商数值越小，有效质量越大

   $$\begin{array}{}\text{(19)}& \frac{1}{m_n^{\ast }}=\frac{1}{{\hslash }^2}\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{E}}{{\mathrm{dk}}^2}\end{array}$$

   导电与导带底与价带顶的电子有关，因此实际问题研究极值附近，泰勒展开保留二阶，并注意极值存在时一阶导数为零

   $$\begin{array}{}\text{(20)}& E(k)=\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m_n^{\ast }}\end{array}$$

   数学回顾：价带顶二阶导数小于0，导带底二阶导数大于零(极值点)

   带顶有效质量小于零，带底有效质量大于零

   有效质量是张量，具有各向异性

   $$\begin{array}{}\text{(21)}& E(k)=E(k_0)+\frac{{\hslash }^2}{2}[\sum _{x,y,z}\frac{(k_i-k_{i0}{)}^2}{m_i^{\ast }}]\end{array}$$

   $$\begin{array}{}\text{(22)}& \begin{array}{c}\frac{1}{m_n^{\ast }}=\frac{1}{{\hslash }^2}\left[\begin{array}{ccc}\frac{{\partial }^{2}E}{\partial x^2}& 0& 0\\ 0& \frac{{\partial }^{2}E}{\partial y^2}& 0\\ 0& 0& \frac{{\partial }^{2}E}{\partial z^2}\end{array}\right]\end{array}\end{array}$$

半导体、绝缘体和导体的区别

1. 略，见课本

tip

满带电子不导电，不满带电子导电

空穴

1. 本征激发：电子挣脱束缚成为自由电子，并留下一个空穴

2. 导电作用

3. 特征参数

   1. 正电荷，电量与电子电量一致

   2. 速度与k点电子速度一致$v_h=v_k$$v_{h}=v_{k}$

   3. 能量与k点电子能量相反$E(k_h)=-E(k_e)$$E(k_{h})=-E(k_{e})$

      空穴的能量最低点在价带顶，电子的最低能量在导带底

      稳态时，电子从带底开始向上填充，空穴从带顶向下填充

   4. 有效质量：价带内，空穴的有效质量大于零；导带内，电子有效质量大于零

4. 意义：

   1. 将价带内大量电子的运动转换为少量空穴的运动
   2. 两类载流子，为PN结理论奠定基础

常见半导体的等能面和能量极值

1. k空间等能面

   $$\begin{array}{}\text{(23)}& E(k)-E(k_0)=\frac{{\hslash }^2}{2}[\frac{(k-k_0{)}^2}{m_x^{\ast }}+\frac{(k-k_0{)}^2}{m_y^{\ast }}+\frac{(k-k_0{)}^2}{m_z^{\ast }}]\end{array}$$

   实验表明常见半导体的等能面形状是旋转椭球面，这意味这存在一个长轴和两个相等长度的短轴，比如说$m_y^{\ast }=m_z^{\ast }$$m_{y}^{*}=m_{z}^{*}$

2. 多极值问题

   锗、硅存在多极值问题

   1. 导带极值点

      对于锗：极值方向(长轴)为(1,1,1)方向，在布里渊区边界处，即L点，共有八个极值点。在第一布里渊区内存在四个旋转椭球

      对于硅：极值方向(长轴)在(1,0,0)方向，距离边界四分之一处，，共有六个极值点，在第一布里渊区内有六个旋转椭球

      对于砷化镓：极值点在k=0处，只有一个极值点，即没有多极值问题，是各向同性的，等能面是扭曲面，近似处理为球面

   2. 价带极值点

      锗、硅、砷化镓价带的极值点都在k=0处，均近似处理为球面，价带的能级都是简并的，还有自选耦合作用形成的能级，该能级不参与导电

      价带中参与导电的有重空穴和轻空穴

   3. 锗、硅的导带和价带极值点k不一样，称为间接带隙半导体；砷化镓的极值点k是一致的，称为直接带隙半导体

      直接带隙半导体和间接带隙半导体：

      1. 直接带隙晶体

         直接带隙晶体的导带底和价带顶满足同一个k值，直接满足动量守恒。打进来的光子能量只需要不低于禁带宽度就能实现电子从价带到导带的跃迁

      2. 间接带隙晶体

         间接带隙晶体的导带底和价带顶不是同一个k值，需要声子参与保证动量守恒，即需要晶格热振动参与进来。打进来的光子能量需要高于禁带宽度，才有可能让电子跃迁到导带，因为光子的部分能量需要提供给声子

3. 禁带宽度及其与温度和压力的关系

   1. 温度越高，禁带宽度将变小

   2. 能带随压力变化有方向性(了解即可)

   3. 实验测量禁带宽度的方法：

      1. 电导率—温度
      2. 霍尔效应
      3. 本征吸收谱

杂质和杂质能级

知识点

1. 共有化运动：

   原子组成晶体后，由于电子壳层的交叠，电子不再完全局限在某一个原子上，可以由一个原子转移到相邻原子上去，因而电子可以在整个晶体中运动，这种运动称为电子的共有化运动，所运动的能级在能量上是相似的

2. 能带和能级：

   当N个原子相互靠近结合成晶体后，每个电子都要收到周围原子势场的作用，其结果是每一个N度兼并的能级都分裂成N个彼此相邻很近的能级，这N个能级组成一个带，称为能带

3. 布里渊区与能带：

   1. 布里渊区：倒易点阵中的维格纳-赛茨晶胞，对于一维和二维，是到周围各方向格点连线的中垂线围成的区域，对于三维，是由中垂面围成
   2. 允带出现在布里渊区中，每个布里渊区对应于一个能带
   3. 每个布里渊区中有N个k状态，布里渊区中的能级是准连续的
   4. 第一布里渊区内允许的波矢总数等于晶胞中初级晶胞数N，每个初级晶胞刚好能贡献一个独立的k值，这也是3.中N个k状态的来源
   5. 同一能量下的电子有两种自旋取向，因此每个能带中共有2N个轨道

   第一布里渊区：到距离原点最近倒格子点的平分线划出的区域，$-\frac{\pi }{a}\le k\le \frac{\pi }{a}$$-\frac{\pi}{a}\le k \le\frac{\pi}{a}$

   4. 锗、硅、砷化镓的第一布里渊区是十四面体(到8个顶点的垂直平分面&6个最近的体心围成的空间)

      $\gamma$$\gamma$点：布里渊区中心：(0,0,0)

      L点：布里渊区与(1,1,1)方向的交点：(1/2,1/2,1/2)

      X点：布里渊区与(1,0,0)方向交点：(0,0,1)

   5. 布里渊区边界方程：

      $$\begin{array}{}\text{(24)}& 2\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{G}=|\overrightarrow{G}{|}^2\Rightarrow \overrightarrow{k}\cdot (\frac{\overrightarrow{G}}{2})=|\frac{\overrightarrow{G}}{2}{|}^2\end{array}$$

      $\overrightarrow{G}$$\vec{G}$称为倒易点阵矢量，他与实际坐标空间有如下关系，T为晶体的平移操作：

      $$\begin{array}{}\text{(25)}& \begin{array}{c}\overrightarrow{T}=u\overrightarrow{a}+v\overrightarrow{b}+w\overrightarrow{c}\\ \overrightarrow{G}=h\overrightarrow{A}+k\overrightarrow{B}+l\overrightarrow{C}\\ \overrightarrow{A}=2\pi \frac{\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}}{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}}\overrightarrow{B}=2\pi \frac{\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a}}{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}}\overrightarrow{C}=2\pi \frac{\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}}\end{array}\end{array}$$

      • 每个晶体结构都有两个点阵与之联系，一个是晶体点阵，一个是对应的倒易点阵

      • 晶体的衍射图像是晶体的倒易点阵的映像

      • 晶体的衍射：

        当$\overrightarrow{G}=\mathrm{\Delta }\overrightarrow{k}$$\vec{G}=\Delta\vec{k}$时，散射振幅达到最大

        $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{k}=\overrightarrow{k^{\prime }}-\overrightarrow{k}$$\Delta\vec{k}=\vec{k'}-\vec{k}$，即散射后波矢与入射波矢的矢量差

4. 有效质量：

   1. 意义：有效质量概括了半导体内部势场的作用，使得在解决半导体中电子在外力作用下的运动规律时，可以不涉及半导体内部势场的作用

   2. 有效质量与能带的关系：

      $$\begin{array}{}\text{(26)}& \frac{1}{{\hslash }^2}(\frac{{\mathrm{d}}^{2}E}{\mathrm{d}{k}^2}){|}_{k=0}=\frac{1}{m^{\ast }}\end{array}$$

5. 导带&价带&禁带&允带&满带

   允带：体系中多个原子相互作用使得一条简并的能级分裂成一组邻近的能级，这组能级就是能带，也就是允带

   k有N个值=N个接近的能级=N个共有化运动状态

   禁带：能带是能级扩展而来的，能带间存在没有能级的间隔，这个间隔就是禁带，电子无法取到禁带中的能量

   满带：处于基态的原子，其电子以此从最低能级向上填充。电子刚好填满某一个能带而下一个能带全空，这些被填满的能带就是满带，满带中能量最高的一条称为价带

   我们知道电流的产生需要载流子的定向运动。夹带中电子已经占据了所有可能的能级，电子相邻位置上的态都已被占据而无法移动，所以可以认为价带中的电子是不导电的，或者说满带不导电

   从能带在k空间的图形上是这么理解：由于能带在k空间是对称的，当每个状态上都有电子占据时，任意一个速度大小为v的电子都有一个大小为-v的电子与之对应。由于能带是满带，因此相对k空间的电子的分布不会因为外力的作用而改变。这样，对于完全满带来说，它的净漂移电流密度就是零

   $$\begin{array}{}\text{(27)}& J=\frac{\mathrm{dI}}{\mathrm{dS}}=-ne\bar{v}=-e\sum _{i(total)}{v}_i\end{array}$$

   导带：对于半导体，能量最高的一个价带到能量更高的下一个能带之间存在禁带，但是这个禁带的宽度不是很大，因此电子有机会跃迁到下一个能带。由于这个能带几乎是空的，所以跃迁到这一能带的电子可以“自由奔跑”，这就是导带

   对于绝缘体，这一禁带宽度较大，认为基本不可能发生电子的跃迁

   对于金属，没有禁带，导带与价带直接重合，因此不需要跃迁就能导电

   总结

   • 完全被电子占据的能带称为满带
   • 完全未被电子占据的能带称为空带
   • 部分被电子占据的能带称为导带
   • 价电子所占据的能带称为价带
   • 允许电子存在的能带称为允带
   • 导带和价带之间的空隙称为禁带

   允带和禁带是相对的，允带包括满带、空带、导带、价带等

   能量比价带低的能带一般为满带

   价带可以是满带，也可以是导带

   带宽

   • 带宽由晶格常数a决定，晶格常数越小交叠程度越大，直观地，外层的带宽更大
   • 带宽与原子密度无关

6. 能隙的起因

   晶体中电子波的布拉格反射是产生能隙的起因，这是周期性势场作用的结果

7. 能谷

   能谷是半导体导带的极小值

   硅的极值分布在$[1,0,0]$$[1,0,0]$方向上，是六个旋转椭球面，可以视为六个能谷。载流子在这些能谷上具有相同的分布。硅也被称为多能谷半导体

   电子从一个极值附近散射到另一个极值附近称为谷间散射

热平衡载流子浓度

统计分布函数

1. 费米分布函数

   $$\begin{array}{}\text{(28)}& f_e=\frac{1}{1+e^{\frac{E-E_F}{k_{0}t}}},k_0=Boltzmann\mathrm{\_}const\end{array}$$

   能级离费米能级$E_F$$E_{F}$远时简化为玻尔兹曼分布

2. 玻尔兹曼分布函数

   $$\begin{array}{}\text{(29)}& f_e=e^{-\frac{E-E_F}{k_{0T}}}\end{array}$$

   1. $E\ge E_F$$E\ge E_{F}$:空
   2. $E=E_F$$E=E_{F}$:占据能级概率为二分之一
   3. $E\le E_F$$E\le E_{F}$:量子态被占满

3. 费米能级

   热平衡状态下，系统引入一个电子引发的系统自由能变化为系统的化学势，热平衡系统中电子的化学势就是费米能级

   1. 平均填充水平：费米能级越高，填充水平高
   2. 费米能级是参考能级，不是真实的能级
   3. 费米能级与温度和掺杂情况有关
   4. 热平衡系统有统一的费米能级
   5. $E_c-E_F\gg k_{0}T{E}_F-E_v\gg k_{0}T$$E_{c}-E_{F}\gg k_{0}T\quad E_{F}-E_{v}\gg k_{0}T$:费米能级在禁带$E_g$$E_{g}$内，采用玻尔兹曼分布

4. 空穴占据几率

   $$\begin{array}{}\text{(30)}& f_h(E)=1-f_e(E)=f_e=\frac{1}{1+e^{\frac{E_F-E}{k_{0}t}}}\approx e^{-\frac{E_F-E}{k_{0}T}}\end{array}$$

   空穴占据的几率就是电子未占据能级的几率，尽管费米分布或玻尔兹曼分布是描述电子在导带的分布，但也适用于价带电子的描述

状态密度函数

状态数Z，$E\sim E+\mathrm{dE}$$E\sim E+\mathrm{dE}$范围，状态密度$g(E)=\frac{\mathrm{dZ}}{\mathrm{dE}}$$g(E)=\frac{\mathrm{dZ}}{\mathrm{dE}}$

1. 极值附近的球形等能面

   $$\begin{array}{}\text{(31)}& \begin{array}{c}{g}_c(E)=4\pi V(\frac{2m_n^{\ast }}{{\hslash }^2}{)}^{\frac{3}{2}}(E-E_c{)}^{\frac{1}{2}}\\ g_v(E)=4\pi V(\frac{2m_p^{\ast }}{{\hslash }^2}{)}^{\frac{3}{2}}(E_v-E{)}^{\frac{1}{2}}\end{array}\end{array}$$

2. 椭球形等能面

   $$\begin{array}{}\text{(32)}& \begin{array}{c}\mathrm{dZ}=S2V\mathrm{d}{\tau }_{\mathrm{k}}S\text{为}\text{多}\text{极}\text{值}\text{数}\text{目}\\ g_c(E)=\frac{4\pi V}{{\hslash }^3}S(8m_x^{\ast }{m}_y^{\ast }{m}_z^{\ast }{)}^{\frac{1}{2}}(E-E_c{)}^{\frac{1}{2}}\\ g_v(E)=\frac{4\pi V}{{\hslash }^3}S(8m_x^{\ast }{m}_y^{\ast }{m}_z^{\ast }{)}^{\frac{1}{2}}(E_v-E{)}^{\frac{1}{2}}\end{array}\end{array}$$

   导带：对于硅，S=6；对于锗，S=4

3. 导带底电子态密度有效质量

   $$\begin{array}{}\text{(33)}& (2m_{dn}^{\ast }{)}^{\frac{3}{2}}=S(8m_x^{\ast }{m}_y^{\ast }{m}_z^{\ast }{)}^{\frac{1}{2}}\end{array}$$

   引入3后，1&2形式统一，便于记忆

4. 价带球形等能面

   价带的能级是简并的，存在轻重空穴，存在两个态密度函数，总态密度为两者的和

   $$\begin{array}{}\text{(34)}& g_v(E)=4\pi V(\frac{2m_{ph}^{\ast }}{{\hslash }^2}{)}^{\frac{3}{2}}(E_v-E{)}^{\frac{1}{2}}+4\pi V(\frac{2m_{pl}^{\ast }}{{\hslash }^2}{)}^{\frac{3}{2}}(E_v-E{)}^{\frac{1}{2}}\end{array}$$

5. 价带顶态密度空穴的有效质量

   包含上式中轻重空穴两部分之和，这样会让所有的态函数形式统一

6. 简述

   导带考虑的是多极值和等能面形式，价带考虑的是轻重空穴

   引入两种态密度有效质量的一个意义是：统一函数形式

   $$\begin{array}{}\text{(36)}& \begin{array}{c}{g}_c(E)=4\pi V(\frac{2m_{eff}^{\ast }}{{\hslash }^2}{)}^{\frac{3}{2}}(E-E_c{)}^{\frac{1}{2}}\\ g_v(E)=4\pi V(\frac{2m_{eff}^{\ast }}{{\hslash }^2}{)}^{\frac{3}{2}}(E_v-E{)}^{\frac{1}{2}}\end{array}\end{array}$$

平衡载流子的浓度公式

Tips

这里仅仅讨论非简并情况，不考虑泡利不相容原理

1. 自由电子数浓度

带入相关公式得到结果：

定义导带底有效电子态密度

2. 空穴浓度

   类比得到：

   $$\begin{array}{}\text{(40)}& p_0=\frac{2}{{\hslash }^3}(2\pi m_{dp}^{\ast }{k}_{0}T{)}^{\frac{3}{2}}{e}^{-\frac{E_F-E_v}{k_{0}T}}=N_v{e}^{-\frac{E_F-E_v}{k_{0}T}}\end{array}$$

价带顶空穴有效态密度

有效态密度的含义理解为——将导带和价带各个能级分别等效到导带底或价带顶的数目

有效态密度受温度影响，$N_c,N_v\propto T^{\frac{3}{2}}$$N_{c},N_{v}\propto T^{\frac{3}{2}}$

3. 浓度积np

   $$\begin{array}{}\text{(42)}& n_0{p}_0=N_v{N}_p{e}^{-\frac{E_g}{k_{0}T}}=K(T)\end{array}$$

   1. T与掺杂浓度、种类无关
   2. 温度确定后，浓度积就是常数
   3. 浓度积仅仅是温度的函数

本征半导体载流子浓度和费米能级

tips

再次强调这里是非简并情况

思路：通过电中性条件，导出费米能级，进一步导出电子和空穴浓度

本征半导体中，电子浓度都等于空穴浓度，参考有关表达式得到等式

注意：并非所有的材料都能够做上式右侧的近似约化，比如InSb

本征半导体的费米能级在中线，$E_i$$E_{i}$称本征费米能级

本征载流子浓度$n_i$$n_{i}$

温度确定后，上式的乘积是个固定值，与掺杂无关

测量禁带宽度实验

可以利用本征载流子浓度与温度的关系测量禁带宽度

杂质半导体载流子浓度和费米能级

1. 浅能级，掺杂一种

   1. 电子在杂质能级的分布

      杂质能级与允带能级的不同：

      形成共价键，只能有一个电子，该电子是任意自旋的

      施主杂质能级电子占据概率：

      $$\begin{array}{}\text{(46)}& f_D=\frac{1}{1+\frac{1}{2}{e}^{\frac{E_D-E_F}{k_{0}T}}}\end{array}$$

      受主杂质能级占据概率：

      $$\begin{array}{}\text{(47)}& f_A=\frac{1}{1+\frac{1}{2}{e}^{\frac{E_A-E_F}{k_{0}T}}}\end{array}$$

      施主未电离电子浓度

      $$\begin{array}{}\text{(48)}& f_D{N}_D=n_D\end{array}$$

      施主电离电子浓度(向导带提供电子)

      $$\begin{array}{}\text{(49)}& (1-f_D)N_D=n_D^{+}\end{array}$$

      未电离受主

      $$\begin{array}{}\text{(50)}& f_A{N}_A=n_A\end{array}$$

      电离受主(得到电子，或者说向价带打出空穴)

      $$\begin{array}{}\text{(51)}& (1-f_A)N_A=p_A^{-}\end{array}$$

      施主始终只跟导带联系，受主只跟价带联系

   2. 不同温度区间的电子空穴浓度与费米能级

      电中性->费米能级->浓度

      下面以掺杂施主为例

      1. 低温区：只有杂质能级激发，没有本征激发（100K）

         根据能带论的观点(或者电中性原理)：$n_0=n_D^{+}=(1-f_D)N_D$$n_{0}=n_{D}^{+}=(1-f_{D})N_{D}$

         根据前面所学，导带电子浓度为：$n_0=N_c\exp (-\frac{E_c-E_F}{k_{0}T})$$n_{0}=N_{c}\exp(-\frac{E_{c}-E_{F}}{k_{0}T})$

         $$\begin{array}{}\text{(52)}& n_0=N_c\exp (-\frac{E_c-E_F}{k_{0}T})=(1-\frac{1}{1+\frac{1}{2}{e}^{\frac{E_D-E_F}{k_{0}T}}})N_D=\frac{1}{1+2e^{\frac{E_F-E_D}{k_{0}T}}}{N}_D\end{array}$$

         在低温温度时$T\to 0$$T\rightarrow 0$，此时上式右侧指数项远远大于1，于是有

         $$\begin{array}{}\text{(53)}& N_c\exp (-\frac{E_c-E_F}{k_{0}T})=\frac{1}{2}\exp (-\frac{E_F-E_D}{k_{0}T})N_D\end{array}$$

         即

         $$\begin{array}{}\text{(54)}& \begin{array}{c}\exp (\frac{E_F-E_c-E_D+E_F}{k_{0}T})=\frac{N_D}{2N_c}\\ \Rightarrow E_F=\frac{1}{2}(E_c+E_D)+\frac{1}{2}{k}_{0}T\ln \frac{N_D}{2N_c}\end{array}\end{array}$$

         带入费米能级的表达式回到导带电子浓度就能得到

         $$\begin{array}{}\text{(55)}& n_0=\sqrt{\frac{N_D{N}_c}{2}}\exp (-\frac{\mathrm{\Delta }{E}_D}{2k_{0}T}),\mathrm{\Delta }{E}_D=E_c-E_D\end{array}$$

         1. 费米能级与掺杂浓度有关
         2. 在$N_c=0.11N_D$$N_{c}=0.11N_{D}$时费米能级取得最大值
         3. 在$N_D=2N_c$$N_{D}=2N_{c}$时费米能级重新回到$\frac{E_c+E_D}{2}$$\frac{E_{c}+E_{D}}{2}$

      2. 中等电离：依然只有杂质能级电离（100-500K）

         与低温区电离的区别是，中等电离时$2\exp (\frac{E_F-E_D}{k_{0}T})$$2\exp(\frac{E_{F}-E_{D}}{k_{0}T})$不再满足远远大于1，因此不能近似处理，此时需要进行严格求解

         $$\begin{array}{}\text{(56)}& \chi =\exp (\frac{E_F}{k_{0}T})\end{array}$$

         严格解的结果为

         $$\begin{array}{}\text{(57)}& \chi =\frac{1}{4}\exp (\frac{E_D}{k_{0}T})[(1+\frac{8N_D}{N_c}\exp (\frac{E_D}{k_{0}T}){)}^{\frac{1}{2}}-1]\end{array}$$

         1. 当施主杂质电离到导带的浓度$N_D^{+}=\frac{1}{3}{N}_D$$N_{D}^{+}=\frac{1}{3}N_{D}$时，$E_F=E_D$$E_{F}=E_{D}$

      3. 中温区：饱和区，强电离区，此时施主杂质全部电离

         $$\begin{array}{}\text{(58)}& n_0=N_D\end{array}$$
         $$\begin{gathered} \begin{array}{}\text{(59)}& \{\begin{array}{l}{n}_0=n_i\exp (\frac{E_F-E_i}{k_{0}T})\\ n_0=N_D=N_c\exp (-\frac{E_c-E_F}{k_{0}T})\end{array} \\ \Rightarrow \{\begin{array}{l}{E}_F=E_i+k_{0}T\ln \frac{n_0}{n_i}\\ E_F=E_c+k_{0}T\ln \frac{N_D}{N_c}\end{array}\end{array} \end{gathered}$$

         费米能级在$E_i$$E_{i}$之上，在$E_c$$E_{c}$之下，准确地，在$E_D$$E_{D}$之下

      4. 高温区：杂志完全电离，并且存在本征激发（500K）

         $$\begin{array}{}\text{(60)}& \begin{array}{c}{n}_0=N_D+p_0\\ n_0{p}_0=n_i^2\\ \Rightarrow n_0^2-n_0{N}_D-n_i^2=0\end{array}\end{array}$$
         $$\begin{array}{}\text{(61)}& \{\begin{array}{l}{n}_0=n_i\exp (\frac{E_F-E_i}{k_{0}T})\\ n_0=N_c\exp (-\frac{E_c-E_F}{k_{0}T})\end{array}\end{array}$$
         $$\begin{array}{}\text{(62)}& n_0=\frac{N_D\pm \sqrt{N_D^2+4n_i^2}}{2}\end{array}$$
         $$\begin{array}{}\text{(63)}& \{\begin{array}{l}{E}_F=E_i+k_{0}T\ln \frac{n_0}{n_i}\\ E_F=E_c+k_{0}T\ln \frac{n_0}{N_c}\end{array}\end{array}$$

         1. 当温度升高，本征激发增强，温度一直增高最终的结果就是$n_0\approx n_p$$n_{0}\approx n_{p}$，即本征状态，$E_F=E_i$$E_{F}=E_{i}$
         2. 费米能级始终不小于$E_i$$E_{i}$
         3. 掺杂浓度$N_D$$N_{D}$增大，则发生本征激发的温度要求就越高
         4. 禁带宽度增大，浓度积就会下降，本征激发所要求的温度就要更高

      掺杂受主

      如果掺杂的是受主，上面的各个分析过程是一致地，在各个公式中做如下替代就行：

      $$\begin{array}{}\text{(64)}& \begin{array}{c}{E}_c\to E_v\\ n_0\to p_0\\ E_D\to E_A\\ E_c-E_F\to E_F-E_v\end{array}\end{array}$$

      所得的费米能级图样与施主图样关于本征费米能级对称

杂质补偿半导体的载流子浓度和费米能级

思路：通过电中性条件，导出费米能级，进一步得到电子和空穴浓度

杂质补偿：掺杂至少两种杂质，同一区域内同时含有施主和受主原子

1. 电中性条件

   $$\begin{array}{}\text{(65)}& n_0+P_A^{-}=p_0+n_D^{+}\end{array}$$

2. 当施主浓度大于受主浓度，N半导体

   依然三个温度区间

   1. 低温区

      $$\begin{array}{}\text{(66)}& \begin{array}{c}{n}_0+N_A=n_D^{+}=(1-f_D)N_D\\ n_0+N_A=N_D-n_D=N_D-f_D{N}_D\\ \frac{n_0(n_0+N_A)}{N_D-N_A-n_0}=\frac{n_0(1-f_D)}{f_D}=n_0(\frac{1}{2}\exp \frac{(E_D-E_F)}{k_{0}T})\\ =\frac{N_c}{2}\exp \frac{-(\mathrm{\Delta }{E}_D)}{k_{0}T}\end{array}\end{array}$$

      温度低时$n_0\ll N_A$$n_{0}\ll N_{A}$

      $$\begin{array}{}\text{(67)}& \begin{array}{c}\frac{n_0(n_0+N_A)}{N_D-N_A-n_0}\approx \frac{n_0{N}_A}{N_D-N_A}\\ n_0=\frac{N_c(N_D-N_A)}{N_A}\exp \frac{-(\mathrm{\Delta }{E}_D)}{k_{0}T}\\ n_0=N_c\exp \frac{-(E_c-E_F)}{k_{0}T}\\ \Rightarrow E_F=E_D+k_{0}T\ln \frac{N_D-N_A}{2N_A}\end{array}\end{array}$$

   2. 中等电离区$N_A\ll n_0\ll N_D$$N_{A}\ll n_{0}\ll N_{D}$

      $$\begin{array}{}\text{(68)}& \begin{array}{c}\frac{n_0(n_0+N_A)}{N_D-N_A-n_0}\approx \frac{n_0^2}{N_D}\\ n_0=\sqrt{\frac{N_C{N}_D}{2}}\exp \frac{-\mathrm{\Delta }{E}_D}{2k_{0}T}\\ E_F=\frac{E_c+E_D}{2}+\frac{k_{0}T}{2}\ln \frac{N_D}{2N_c}\end{array}\end{array}$$

   3. 中温区，杂质全电离

      $$\begin{array}{}\text{(69)}& \begin{array}{c}{n}_0+N_A=N_D\\ N_c\exp \frac{-(E_c-E_F)}{k_{0}T}=N_D-N_A\\ E_F=E_c+k_{0}T\ln \frac{N_D-N_A}{N_c}\end{array}\end{array}$$

   4. 高温区，本征激发

      $$\begin{array}{}\text{(70)}& \begin{array}{c}{n}_0+N_A=N_D+p_0\\ n_0{p}_0=n_i^2\\ E_F=E_i+k_{0}T\ln \frac{n_0}{n_i}\\ E_F=E_c+k_{0}T\ln \frac{n_0}{N_c}\end{array}\end{array}$$

简并半导体

开始使用费米分布函数

前面我们的讨论的问题都是非简并情况，暗含的条件一般是掺杂浓度与晶体或半导体原子浓度相比是很小的。这些少量的杂质原子扩散速度足够快，因此不存在杂质原子间的相互作用

如果掺杂浓度高，杂质原子之间的距离逐渐缩小，达到杂质原子间出现相互作用的情况时，单一的分立的施主能级或受主能级就将分裂成一个能带。随着施主或受主浓度进一步增加，施主或受主能带变宽并可能与导带底或价带顶交叠，此时就形成简并半导体

上图的横坐标为$\epsilon =\frac{E_F-E_c}{2k_{0}T}$$\varepsilon=\frac{E_{F}-E_{c}}{2k_{0}T}$，我们认为当$E_c-E_F\ge 2k_{0}T$$E_{c}-E_{F}\ge 2k_{0}T$时，即在上图左侧部分，半导体是非简并的；在两者划线中间部分半导体处于弱简并状态；当$E_F\ge E_c$$E_{F}\ge E_{c}$时，半导体是简并的

简并半导体不再服从玻尔兹曼分布而服从费米分布

1. 简并半导体的载流子浓度

   $$\begin{array}{}\text{(71)}& n_0=\frac{1}{V}{\int }_{E_c}^{\mathrm{\infty }}f(E)g(E)\mathrm{dE}=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{N}_c{F}_{0.5}(\epsilon )\end{array}$$

2. 简并化条件

   $$\begin{array}{}\text{(72)}& \begin{array}{c}{E}_c-E_F\ge 2k_{0}T\text{非}\text{简}\text{并}\\ \\ 2k_{0}T\ge E_c-E_F\ge 0\text{弱}\text{简}\text{并}\\ \\ E_c-E_F\le 0\text{简}\text{并}\end{array}\end{array}$$

3. 简并半导体

   电中性条件

   $$\begin{array}{}\text{(73)}& \begin{array}{rl}{n}_0=n_D^{+}& =(1-f_D)N_D\\ & =(1-\frac{1}{1+\frac{1}{2}\exp (\frac{E_D-E_F}{k_{0}T})})N_D\\ & =\frac{1}{1+2\exp (-\frac{E_D-E_F}{k_{0}T})}{N}_D\end{array}\end{array}$$

   考虑简并条件$E_c=E_F$$E_{c}=E_{F}$

   $$\begin{array}{}\text{(74)}& \begin{array}{rl}{N}_D& =[1+2\exp (-\frac{E_D-E_F}{k_{0}T})]n_0\\ & =[1+2\exp (-\frac{E_D-E_F}{k_{0}T})]\frac{2}{\sqrt{\pi }}{N}_c{F}_{0.5}(0)\\ & =[1+2\exp (-\frac{E_D-E_c+E_c-E_F}{k_{0}T})]\frac{2}{\sqrt{\pi }}{N}_c\ast 0.7\\ & =[1+2\exp (\frac{\mathrm{\Delta }{E}_D}{k_{0}T})]N_c\ast 0.79\end{array}\end{array}$$

   1. 简并发生时，$N_D>N_c$$N_{D}>N_{c}$

   2. 电离能越大，则需要更高的杂质浓度才能发生简并。可以理解为电离能越大，施主电离越困难，相同情况下费米能级越低

   3. 简并发生时有一个温度区间

   4. 简并发生时杂质电离不充分

      $$\begin{array}{}\text{(75)}& \begin{array}{c}\frac{n_D^{+}}{N_D}=\frac{1}{1+2\exp (-\frac{E_D-E_F}{k_{0}T})}\\ =\frac{1}{1+2\exp (\frac{\mathrm{\Delta }{E}_D}{k_{0}T})}\le \frac{1}{3}\end{array}\end{array}$$

   5. 简并发生时杂质带导电

      简并重掺杂导致简并化，杂质原子的近距离让相互作用不可忽略，产生共有化运动，杂志能级展宽为杂志能带，会出现简并化效应，杂质电离不充分

      • 电离能$\mathrm{\Delta }{E}_D,\mathrm{\Delta }{E}_A$$\Delta E_{D},\Delta E_{A}$下降
      • 禁带宽度$E_g$$E_{g}$变窄
      • 出现杂质带导电，即杂质能带与价带连接上

半导体的导电性

本章在弱电场下讨论问题，主要关注的内容有：

1. 迁移率$\mu$$\mu$
2. 导电率$\sigma$$\sigma$
3. 漂移速度
4. 平均自由时间$\tau$$\tau$

载流子的漂移运动

1. 迁移率

   在电场作用下，晶体中的空穴获得加速度加速，当载流子同晶体中的原子碰撞后会损失能量，之后再次加速获得能量直到再次散射。在这样一个重复的过程中粒子将具有一个平均漂移速度，这个速度与外加电场强度大小成正比

   $$\begin{array}{}\text{(76)}& \overrightarrow{v}=\mu \overrightarrow{E}\end{array}$$

   上式中的比例系数就称为空穴迁移率

   迁移率的大小反映载流子在外电场作用下的运动能力

2. 漂移电流密度

电子漂移电流密度

空穴漂移电流密度

半导体总漂移电流密度为上述两式之和

3. 迁移率与平均自由时间的关系

   $$\begin{array}{}\text{(80)}& \begin{array}{c}\overrightarrow{F}=m\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dt}}=qE\\ v=\frac{qEt}{m}=\mu E\\ \Rightarrow \mu =\frac{qt}{m}\end{array}\end{array}$$

   在半导体物理中，我们存在电子和空穴的迁移率，他们的定义分别如下：

   $$\begin{array}{}\text{(81)}& \begin{array}{c}{\mu }_n=\frac{q{\tau }_n}{m_n^{\ast }}\\ {\mu }_p=\frac{q{\tau }_p}{m_p^{\ast }}\end{array}\end{array}$$

载流子的散射机制

半导体物理中影响载流子迁移率的散射机制主要是两种：晶格散射和杂质散射

温度一定时，格点原子在平衡位置附近的振动对散射有贡献，格点原子的振动是由若干基本波动按照波的叠加原理组合而成，称为格波的叠加

载流子受到的散射包含内部和外部作用。在内部，载流子与极点原子、杂质原子等会发生碰撞，遭到散射；在外场作用下，载流子在漂移运动时会发生散射碰撞，使得运动方向和速度大小不断改变而不能无限积累。下面指出一些概念

自由载流子：指连续两次散射之间是自由的

平均自由程：连续两次散射之间自由运动的平均路程

平均自由时间：连续两次散射之间所经历的自由时间的平均值

固体物理学认为，载流子遭到散射的根本原因是晶格的周期性势场遭到破坏而产生了附加势场，下面的分析基于锗硅砷化镓

1. 声学波与光学波

   晶格格点原子的振动是由格波叠加而成，主要分为声学波和光学波两类

   格波能量是不连续的，基本能量单元称为声子，分立值等效为线性谐振子的能量

   格波能量的平均值为

   $$\begin{array}{}\text{(82)}& [\frac{1}{\exp (\frac{h\nu }{kT})-1}]h\nu +\frac{1}{2}h\nu \end{array}$$

   平均声子数为

   $$\begin{array}{}\text{(83)}& \bar{n}=[\frac{1}{\exp (\frac{h\nu }{kT})-1}]\end{array}$$

2. 主要散射机制

   1. 杂质电离

      杂质电离散射概率如下：

      $$\begin{array}{}\text{(84)}& P_i\propto N_i{T}^{-\frac{3}{2}}\end{array}$$

      杂质电离散射是普遍存在的，锗硅砷化镓等半导体都需要考虑电离散射

   2. 声学波散射

      声子波散射概率如下：

      $$\begin{array}{}\text{(85)}& P_s\propto T^{\frac{3}{2}}\end{array}$$

      对应锗硅砷化镓都需要考虑

   3. 光学波散射

      光子波散射概率如下：

      $$\begin{array}{}\text{(86)}& P_o\propto \frac{1}{\exp (\frac{h\nu }{kT})-1}\end{array}$$

      砷化镓需要考虑光学波散射

   4. 其它散射类型

      等能谷间散射、中性杂质散射、位错散射、载流子间散射

      1. 等能谷在高温下起到的散射作用显著
      2. 中性杂质散射在低温、重掺杂条件下散射作用显著
      3. 载流子间散射在重掺杂、强简并条件下散射作用显著

3. 散射几率$P$$P$

   我们用散射几率定量描述散射作用的强弱。散射几率的物理意义是单位时间内一个载流子遭到散射的次数

   下面给出散射概率和平均自由时间的关系

   设$t$$t$时刻尚未被散射的粒子数为$N(t)$$N(t)$，则在$t+\mathrm{\Delta }t-t$$t+\Delta t-t$时间内被散射的粒子数为：

   $$\begin{array}{}\text{(87)}& \begin{array}{c}N(t+\mathrm{\Delta }t)-N(t)=-N(t)P\mathrm{\Delta }t\\ \\ \underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{N(t+\mathrm{\Delta }t)-N(t)}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{\mathrm{dN}}{\mathrm{dt}}\\ \\ \Rightarrow N(t)=N_0\exp (-Pt)\end{array}\end{array}$$

   平均自由时间：

   $$\begin{array}{}\text{(88)}& \tau =\frac{{\int }_0^{\mathrm{\infty }}tN(t)P\mathrm{dt}}{N_0}=\frac{1}{P}\end{array}$$

   上式就是散射概率与平均自由时间的关系

迁移率电导率与平均自由时间的关系

1. $\mu$$\mu$与$\tau$$\tau$的关系

   设外加电场沿$x$$x$方向，并且电子有效质量$m_n^{\ast }$$m_{n}^{*}$各向同性

   $$\begin{array}{}\text{(89)}& \begin{array}{c}{v}_x=v_0-\frac{qE}{m_n^{\ast }}t\\ ⟨v_x⟩=⟨v_0⟩-\frac{qE}{m_n^{\ast }}⟨t⟩\\ \Rightarrow ⟨v_x⟩=-\frac{qE}{m_n^{\ast }}\tau \\ \mu =|\frac{⟨v_x⟩}{E}|=\frac{q}{m_n^{\ast }}\tau \end{array}\end{array}$$

   电子迁移率

   $$\begin{array}{}\text{(90)}& u_n=\frac{q}{m_n^{\ast }}{\tau }_n\end{array}$$

   空穴迁移率

   $$\begin{array}{}\text{(91)}& u_p=\frac{q}{m_p^{\ast }}{\tau }_p\end{array}$$

2. $\sigma$$\sigma$与$\tau$$\tau$的关系

   $$\begin{array}{}\text{(92)}& \sigma =nq{\mu }_n+pq{\mu }_p=n{q}^2(\frac{{\tau }_n}{m_{n^{\ast }}}+\frac{{\tau }_p}{m_p^{\ast }})\end{array}$$

3. 电导有效质量$m_{cn}^{\ast },m_{cp}^{\ast }$$m_{cn}^{*},m_{cp}^{*}$

   1. 硅导带

      硅的等能面是六个旋转椭球面，电子在这些能谷上的分布是一致的，假设外场沿$[1,0,0]$$[1,0,0]$方向，并认为质量是各向异性的

      $$\begin{array}{}\text{(93)}& \begin{array}{rl}J=\sum _{i}nq{\mu }_{i}E& =\frac{2}{6}nq{\mu }_{l}E+\frac{4}{6}nq{\mu }_{t}E\\ \\ & =\frac{1}{3}nqE(\frac{q}{m_l^{\ast }}\tau +\frac{2q}{m_t^{\ast }}\tau )\end{array}\end{array}$$

      电导有效质量定义为

      $$\begin{array}{}\text{(94)}& \frac{1}{m_{cn}^{\ast }}=\frac{1}{3}(\frac{1}{m_l^{\ast }}+\frac{2}{m_t^{\ast }})\end{array}$$

      电导有效质量将质量的张量性质和多极值(能谷)的特点考虑了进去

   2. 锗导带

      锗的极值在$[1,1,1]$$[1,1,1]$方向上，等效有四个旋转椭球面，电子在等能谷上具有一致的分布，假设外场沿$[0,0,1]$$[0,0,1]$方向，考虑质量的张量性，将外场(或电流密度)投射在极值方向和垂直于极值方向的分解，并设$[0,0,1],[1,1,1]$$[0,0,1],[1,1,1]$向量角为$\alpha$$\alpha$

      $$\begin{array}{}\text{(95)}& {\overrightarrow{J}}_z={\overrightarrow{J}}_l+{\overrightarrow{J}}_t=nq{\mu }_l{\overrightarrow{E}}_l+nq{\mu }_t{\overrightarrow{E}}_t\end{array}$$
      $$\begin{array}{}\text{(96)}& \begin{array}{rl}{J}_z& =J_l\cos \alpha +J_t\sin \alpha \\ \\ & =nq{\mu }_l{E}_l\cos \alpha +nq{\mu }_t{E}_t\sin \alpha \\ \\ & =nq{\mu }_{l}E\cos {\alpha }^2+nq{\mu }_{t}E\sin {\alpha }^2\\ \\ & =\frac{1}{3}nq{\mu }_{l}E+\frac{2}{3}nq{\mu }_{t}E\end{array}\end{array}$$

      于是电导有效质量为

      $$\begin{array}{}\text{(97)}& \frac{1}{m_{cn}^{\ast }}=\frac{1}{3}(\frac{1}{m_l^{\ast }}+\frac{2}{m_t^{\ast }})\end{array}$$

      形式上与硅是一样的

   3. 锗硅价带

      空穴分为轻空穴和重空穴两类，重空穴所占据的比率约为$80\mathrm{\%}$$80\%$

      空穴电导有效质量为

      $$\begin{array}{}\text{(98)}& \frac{1}{m_{cp}^{\ast }}=\frac{{m_{pl}^{\ast }}^{\frac{1}{2}}+{m_{ph}^{\ast }}^{\frac{1}{2}}}{{m_{dp}^{\ast }}^{\frac{3}{2}}}\end{array}$$

   1. 锗、硅各个能谷上对迁移率、电导率的贡献不同，但是总的电导率和迁移率是各向同性的

   2. 当我们关注的问题与运动有关时，考虑迁移率、电导率和电导有效质量

      当我们关注的问题与浓度有关时，考虑态密度有效质量